Cálculo Exemplos

$\int x^{3} \sin (x^{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u$ .

$\int \frac{u}{2} \sin (u) d u$

Etapa 2.2

Combine $\frac{u}{2}$ e $\sin (u)$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int u \sin (u) d u$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Etapa 6.2

Multiplique $\int \cos (u) d u$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Etapa 7

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Etapa 8

Reescreva $\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ como $\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})) + C$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2})) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Etapa 10.2

Multiplique $\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}))$ .

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Etapa 10.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Etapa 10.2.2

Combine $\cos (x^{2})$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Etapa 10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (x^{2})$ .

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

Etapa 10.4

Reordene os fatores em $- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (x^{2})}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$