Cálculo Exemplos

$\int x^{4} \sqrt{x^{5} + 5} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{5} + 5$ . Depois, $d u = 5 x^{4} d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{5} + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{5} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} + 5]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Etapa 1.1.5

Some $5 x^{4}$ e $0$ .

$5 x^{4}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 6.2.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5} + 5$ .

$\frac{2}{15} {(x^{5} + 5)}^{\frac{3}{2}} + C$