Cálculo Exemplos

$\int x^{2} \sin (5 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \sin (5 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{5} \cos (5 x)) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\cos (5 x)$ e $\frac{1}{5}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (5 x)}{5}) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{\cos (5 x)}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) (2 x) d x$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{5} \cdot 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{5} \cdot 2$ para fora da integral.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (- \frac{1}{5} \cdot 2 \int \cos (5 x) (x) d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (- 2 (\frac{1}{5}) \int \cos (5 x) (x) d x)$

Etapa 4.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (\frac{- 2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x)$

Etapa 4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (- \frac{2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x)$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + 1 (\frac{2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x)$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (5 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} \sin (5 x)) - \int \frac{1}{5} \sin (5 x) d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $\sin (5 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (x \frac{\sin (5 x)}{5} - \int \frac{1}{5} \sin (5 x) d x)$

Etapa 6.2

Combine $x$ e $\frac{\sin (5 x)}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \int \frac{1}{5} \sin (5 x) d x)$

Etapa 6.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $\sin (5 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \int \frac{\sin (5 x)}{5} d x)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - (\frac{1}{5} \int \sin (5 x) d x))$

Etapa 8

Deixe $u = 5 x$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 8.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5} \int \sin (u) \frac{1}{5} d u)$

Etapa 9

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{\sin (u)}{5} d u)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \sin (u) d u))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int \sin (u) d u)$

Etapa 11.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{25} \int \sin (u) d u)$

Etapa 12

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{25} (- \cos (u) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Reescreva $- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{25} (- \cos (u) + C))$ como $- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

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Etapa 13.2.1

Para escrever $\frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) \cdot \frac{5}{5} + C$

Etapa 13.2.2

Combine $\frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})$ e $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{\frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) \cdot 5}{5} + C$

Etapa 13.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) \cdot 5}{5} + C$

Etapa 13.2.4

Combine $5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Etapa 13.2.5

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{10}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Etapa 13.2.6

Cancele o fator comum de $10$ e $5$ .

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Etapa 13.2.6.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Etapa 13.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.2.6.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5 (1)} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Etapa 13.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Etapa 13.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Etapa 13.2.6.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + 2 (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + 2 (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (5 x)}{25})}{5} + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + 2 \frac{x \sin (5 x)}{5} + 2 \frac{\cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Etapa 15.1.2

Combine $2$ e $\frac{x \sin (5 x)}{5}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2 (x \sin (5 x))}{5} + 2 \frac{\cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Etapa 15.1.3

Combine $2$ e $\frac{\cos (5 x)}{25}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2 (x \sin (5 x))}{5} + \frac{2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Etapa 15.1.4

Para escrever $- x^{2} \cos (5 x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{25}{25}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} - x^{2} \cos (5 x) \cdot \frac{25}{25} + \frac{2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Etapa 15.1.5

Combine $- x^{2} \cos (5 x)$ e $\frac{25}{25}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25}{25} + \frac{2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Etapa 15.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Etapa 15.1.7

Para escrever $\frac{2 x \sin (5 x)}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Etapa 15.1.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $25$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.1.8.1

Multiplique $\frac{2 x \sin (5 x)}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Etapa 15.1.8.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5}{25} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Etapa 15.1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5 - x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Etapa 15.1.10

Reescreva $\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5 - x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 15.1.10.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{\frac{10 x \sin (5 x) - x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Etapa 15.1.10.2

Multiplique $25$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

Etapa 15.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25} \cdot \frac{1}{5} + C$

Etapa 15.3

Multiplique $\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Etapa 15.3.1

Multiplique $\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25 \cdot 5} + C$

Etapa 15.3.2

Multiplique $25$ por $5$ .

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{125} + C$

Etapa 15.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{125} (10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)) + C$