Cálculo Exemplos

$\int x^{2} \sin (4 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \sin (4 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\cos (4 x)$ e $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{4} \cdot 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{4} \cdot 2$ para fora da integral.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \cdot 2 \int \cos (4 x) (x) d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- 2 (\frac{1}{4}) \int \cos (4 x) (x) d x)$

Etapa 4.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{- 2}{4} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 (- 1)}{4} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Etapa 4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{- 1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Etapa 4.6

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (4 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sin (4 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (x \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

Etapa 6.2

Combine $x$ e $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

Etapa 6.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sin (4 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{\sin (4 x)}{4} d x)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \int \sin (4 x) d x))$

Etapa 8

Deixe $u = 4 x$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 8.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

Etapa 9

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{\sin (u)}{4} d u)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int \sin (u) d u)$

Etapa 11.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} \int \sin (u) d u)$

Etapa 12

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Reescreva $- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$ como $- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

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Etapa 13.2.1

Para escrever $\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Etapa 13.2.2

Combine $\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Etapa 13.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Etapa 13.2.4

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{4}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Etapa 13.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 13.2.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Etapa 13.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Etapa 13.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Etapa 13.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Etapa 13.2.5.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (4 x)}{16})}{4} + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{4} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{2 (2)} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Etapa 15.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{2 \cdot 2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Etapa 15.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Etapa 15.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.3.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{2 (8)}}{4} + C$

Etapa 15.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

Etapa 15.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.1.1

Para escrever $- x^{2} \cos (4 x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} - x^{2} \cos (4 x) \cdot \frac{8}{8} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Etapa 16.1.2

Combine $- x^{2} \cos (4 x)$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8}{8} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Etapa 16.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Etapa 16.1.4

Para escrever $\frac{x \sin (4 x)}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Etapa 16.1.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 16.1.5.1

Multiplique $\frac{x \sin (4 x)}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Etapa 16.1.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4}{8} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Etapa 16.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4 - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Etapa 16.1.7

Reescreva $\frac{x \sin (4 x) \cdot 4 - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 16.1.7.1

Mova $4$ para a esquerda de $x \sin (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 \cdot (x \sin (4 x)) - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Etapa 16.1.7.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Etapa 16.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4} + C$

Etapa 16.3

Multiplique $\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 16.3.1

Multiplique $\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

Etapa 16.3.2

Multiplique $8$ por $4$ .

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{32} + C$

Etapa 16.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{32} (4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)) + C$