Cálculo Exemplos

$\int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Etapa 3

Fatore $\sin^{2} (t)$ .

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Etapa 4

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sin^{2} (t)$ como $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Etapa 5

Deixe $u = \cos (t)$ . Depois, $d u = - \sin (t) d t$ , então, $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = \cos (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Etapa 5.1.2

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Etapa 6

Multiplique $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 7.2

Multiplique $u^{2}$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Etapa 7.2.2

Some $2$ e $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (t)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$