Cálculo Exemplos

$\int \sqrt[3]{5 - 3 x^{2}} (- 6 x) d x$

Etapa 1

Como $- 6$ é constante com relação a $x$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$- 6 \int \sqrt[3]{5 - 3 x^{2}} (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = 5 - 3 x^{2}$ . Depois, $d u = - 6 x d x$ , então, $- \frac{1}{6} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 5 - 3 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $5 - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$0 - 6 x$

Etapa 2.1.4

Subtraia $6 x$ de $0$ .

$- 6 x$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 6 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 6} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 6 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{6}) d u$

Etapa 3.2

Combine $\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{6}$ .

$- 6 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 6 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$6 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{6} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $6$ .

$\frac{6}{6} \int \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 7.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{6} \int \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 7.1.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 7.1.3

Multiplique $\int \sqrt[3]{u} d u$ por $1$ .

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 7.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - 3 x^{2}$ .

$\frac{3}{4} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$