Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{8} - 8 x^{7}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{8} - 8 x^{7}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{7}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{7}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{7}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{7}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$8 x^{7} - 8 \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$8 x^{7} - 8 (7 x^{6})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $7$ por $- 8$ .

$f' (x) = 8 x^{7} - 56 x^{6}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $8 x^{7} - 56 x^{6}$ .

$8 x^{7} - 56 x^{6}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $8 x^{7} - 56 x^{6} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$8 x^{7} - 56 x^{6} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $8 x^{6}$ de $8 x^{7} - 56 x^{6}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $8 x^{6}$ de $8 x^{7}$ .

$8 x^{6} (x) - 56 x^{6} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $8 x^{6}$ de $- 56 x^{6}$ .

$8 x^{6} (x) + 8 x^{6} (- 7) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $8 x^{6}$ de $8 x^{6} (x) + 8 x^{6} (- 7)$ .

$8 x^{6} (x - 7) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{6} = 0$

$x - 7 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{6}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{6}$ como igual a $0$ .

$x^{6} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{6} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt[6]{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $8 x^{6} (x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 7$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{8} - 8 x^{7}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{8} - 8 {(0)}^{7}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{7}$

Etapa 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 8 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 7$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $7$ por $x$ .

${(7)}^{8} - 8 {(7)}^{7}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $8$ .

$5764801 - 8 {(7)}^{7}$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $7$ à potência de $7$ .

$5764801 - 8 \cdot 823543$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $823543$ .

$5764801 - 6588344$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $6588344$ de $5764801$ .

$- 823543$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (7, - 823543)$

Etapa 5