Cálculo Exemplos

$\int \frac{x}{{(1 - 2 x^{2})}^{3}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - 2 x^{2}$ . Depois, $d u = - 4 x d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - 2 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 - 4 x$

Etapa 1.1.4

Subtraia $4 x$ de $0$ .

$- 4 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{4}) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Etapa 2.3

Mova $4$ para a esquerda de $u^{3}$ .

$\int - \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $u^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{4} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int u^{- 3} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 3}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ como $- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Etapa 7.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Etapa 7.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Etapa 7.2.4

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Etapa 7.2.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{1}{4 (2 u^{2})} + C$

Etapa 7.2.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8 u^{2}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 2 x^{2})}^{2}} + C$