Cálculo Exemplos

$\int x^{2} \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \cos (2 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2} \cdot 2$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2} \cdot 2$ para fora da integral.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \sin (2 x) (x) d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x)$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (1 \int \sin (2 x) (x) d x)$

Etapa 4.3

Multiplique $\int \sin (2 x) (x) d x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) (x) d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Etapa 6.2

Combine $x$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Etapa 6.3

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Etapa 8.2

Multiplique $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 10

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 11

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 13.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Etapa 14

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Reescreva $\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ como $\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Etapa 15.2

Simplifique.

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Etapa 15.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Etapa 15.2.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Etapa 15.2.3

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Etapa 15.2.4

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Etapa 15.2.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Etapa 15.2.6

Para escrever $- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 15.2.7

Combine $- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 15.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 15.2.9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Etapa 16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2}) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 17.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 17.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\cos (2 x) x}{2}$ para o numerador.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 17.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 2 (- 1) \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 17.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 17.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - (- \cos (2 x) x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 17.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 1 (\cos (2 x) x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 17.4

Multiplique $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 17.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 17.5.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 (- 1) \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Etapa 17.5.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Etapa 17.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Etapa 17.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Etapa 17.6

Reordene os fatores em $\cos (2 x) x - \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + x \cos (2 x) - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 18.1.1

Para escrever $x^{2} \sin (2 x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cos (2 x) + x^{2} \sin (2 x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Etapa 18.1.2

Combine $x^{2} \sin (2 x)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cos (2 x) + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Etapa 18.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x \cos (2 x) + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Etapa 18.1.4

Para escrever $x \cos (2 x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cos (2 x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Etapa 18.1.5

Combine $x \cos (2 x)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x \cos (2 x) \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Etapa 18.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Etapa 18.1.7

Reescreva $\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 18.1.7.1

Mova $2$ para a esquerda de $x \cos (2 x)$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (x \cos (2 x)) + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Etapa 18.1.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} \sin (2 x)$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Etapa 18.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2} \cdot \frac{1}{2} + C$

Etapa 18.3

Multiplique $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 18.3.1

Multiplique $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 18.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 18.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) + C$