Cálculo Exemplos

$\int x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . Depois, $d u_{2} = 12 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ , então, $\frac{1}{12} d u_{2} = x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{3}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x^{3}$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x^{3}$ .

$e^{4 x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{4 x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$e^{4 x^{3}} (4 (3 x^{2}))$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$ .

$12 e^{4 x^{3}} x^{2}$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os fatores em $12 e^{4 x^{3}} x^{2}$ .

$12 x^{2} e^{4 x^{3}}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{12} d u_{2}$

Etapa 2

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{12} u_{2} + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{1}{12} e^{4 x^{3}} + C$