Cálculo Exemplos

$\int e^{4 x} \cos (3 x) d x$

Etapa 1

Reordene $e^{4 x}$ e $\cos (3 x)$ .

$\int \cos (3 x) e^{4 x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (3 x)$ e $d v = e^{4 x}$ .

$\cos (3 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4} \cdot - 3$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4} \cdot - 3$ para fora da integral.

$\cos (3 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 3 \int e^{4 x} (\sin (3 x)) d x)$

Etapa 4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$\cos (3 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 3 \int e^{4 x} (\sin (3 x)) d x)$

Etapa 4.2

Combine $\cos (3 x)$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 3 \int e^{4 x} (\sin (3 x)) d x)$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 3$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} \int e^{4 x} (\sin (3 x)) d x)$

Etapa 4.4

Reordene $e^{4 x}$ e $\sin (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} \int \sin (3 x) e^{4 x} d x)$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (3 x)$ e $d v = e^{4 x}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\sin (3 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (3 \cos (3 x)) d x))$

Etapa 6

Como $\frac{1}{4} \cdot 3$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4} \cdot 3$ para fora da integral.

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\sin (3 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 3 \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)))$

Etapa 7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\sin (3 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 3 \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)))$

Etapa 7.2

Combine $\sin (3 x)$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\frac{\sin (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 3 \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)))$

Etapa 7.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $3$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 3}{4} (\frac{\sin (3 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)))$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 3}{4} \cdot \frac{\sin (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 3}{4} (- (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x))$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{\sin (3 x) e^{4 x}}{4}$ por $\frac{- 3}{4}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{4 \cdot 4} - \frac{- 3}{4} (- (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x))$

Etapa 7.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} - \frac{- 3}{4} (- (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x))$

Etapa 7.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + 1 (\frac{- 3}{4}) (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)$

Etapa 7.6.3

Multiplique $\frac{- 3}{4}$ por $1$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + \frac{- 3}{4} (\frac{3}{4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x)$

Etapa 7.7

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{- 3}{4}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + \frac{3 \cdot - 3}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x$

Etapa 7.8

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + \frac{- 9}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x$

Etapa 7.8.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16} + \frac{- 9}{16} \int e^{4 x} (\cos (3 x)) d x$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{4 x} \cos (3 x) d x$ , descobrimos que $\int e^{4 x} \cos (3 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16}}{\frac{25}{16}}$ .

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (3 x) e^{4 x} \cdot - 3}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Mova $- 3$ para a esquerda de $\sin (3 x) e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 3 \cdot (\sin (3 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

Etapa 9.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} - - \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} + 1 \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

Etapa 9.1.4

Multiplique $\frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}$ por $1$ .

$\frac{\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} + \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{25}{16}} + C$

Etapa 9.1.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{25}{16}$ .

$(\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} + \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{25} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $(\frac{\cos (3 x) e^{4 x}}{4} + \frac{3 \sin (3 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{25} + C$ como $(\frac{1}{4} \cos (3 x) e^{4 x} + \frac{3}{16} \sin (3 x) e^{4 x}) \frac{16}{25} + C$ .

$(\frac{1}{4} \cos (3 x) e^{4 x} + \frac{3}{16} \sin (3 x) e^{4 x}) \frac{16}{25} + C$