Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 \cot (\frac{x}{3}) d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cot (\frac{x}{3}) d x$

Etapa 2

Deixe $u = \frac{x}{3}$ . Depois, $d u = \frac{1}{3} d x$ , então, $3 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \frac{x}{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Etapa 2.1.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$u_{lower} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) (1 \cdot 3) d u$

Etapa 3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \cdot 3 d u$

Etapa 3.3

Mova $3$ para a esquerda de $\cot (u)$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \cot (u) d u$

Etapa 4

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$2 (3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u)$

Etapa 5

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u$

Etapa 6

A integral de $\cot (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \sin (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sin (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 7

Avalie $\ln (| \sin (u) |)$ em $\frac{π}{3}$ e em $\frac{π}{6}$ .

$6 (\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Etapa 8.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{1}{2} |))$

Etapa 8.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{1}{2} |})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ é aproximadamente $0.8660254$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{1}{2} |})$

Etapa 9.2

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Etapa 9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.4.1

Cancele o fator comum.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Etapa 9.4.2

Reescreva a expressão.

$6 \ln (\sqrt{3})$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$6 \ln (\sqrt{3})$

Forma decimal:

$3.29583686 \dots$