Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 4 \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

Etapa 1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$u_{upper} = \cos (0)$

Etapa 2.5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{3} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u)$

Etapa 4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$- 4 (\frac{u^{4}}{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{u^{4}}{4}$ em $1$ e em $\frac{1}{2}$ .

$- 4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

Etapa 7.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 4 (\frac{1}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1^{4}}{2^{4}}}{4}$

Etapa 8.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{2^{4}}}{4}$

Etapa 8.2.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{16}}{4}$

Etapa 8.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- 4 \frac{\frac{16}{16} - \frac{1}{16}}{4}$

Etapa 8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 \frac{\frac{16 - 1}{16}}{4}$

Etapa 8.5

Subtraia $1$ de $16$ .

$- 4 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Etapa 8.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 8.6.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Etapa 8.6.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 1 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Etapa 8.6.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{15}{16}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{15}{16}$

Forma decimal:

$- 0.9375$