Cálculo Exemplos

$\int \frac{\ln (x)}{x \sqrt{1 + \ln (x)}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{\ln (e^{u - 1})}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique.

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Etapa 2.1.1

Use as regras logarítmicas para mover $u - 1$ para fora do expoente.

$\int \frac{(u - 1) \ln (e)}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.1.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\int \frac{(u - 1) \cdot 1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.1.3

Multiplique $u - 1$ por $1$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

Expanda $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.6

Subtraia $1$ de $2$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \ln (x)$ .

$\frac{2}{3} {(1 + \ln (x))}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 + \ln (x))}^{\frac{1}{2}} + C$