Cálculo Exemplos

$\int e^{- x} \sin (4 x) d x$

Etapa 1

Reordene $e^{- x}$ e $\sin (4 x)$ .

$\int \sin (4 x) e^{- x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (4 x)$ e $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 \cos (4 x)) d x$

Etapa 3

Como $- 1 \cdot 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1 \cdot 4$ para fora da integral.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Etapa 4.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- x}$ e $\cos (4 x)$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int \cos (4 x) e^{- x} d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (4 x)$ e $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

Etapa 6

Como $- - 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- - 4$ para fora da integral.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (- - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Etapa 7

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Etapa 7.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Etapa 7.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Etapa 7.4.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) - 16 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ , descobrimos que $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17}$ .

$\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17} + C$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ como $\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ .

$\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Fatore $e^{- x}$ de $- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.1

Fatore $e^{- x}$ de $- \sin (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Etapa 9.2.1.1.2

Fatore $e^{- x}$ de $- 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Etapa 9.2.1.1.3

Fatore $e^{- x}$ de $e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Etapa 9.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- \sin (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Etapa 9.2.1.2.2

Fatore $- 1$ de $- 4 \cos (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x)))}{17} + C$

Etapa 9.2.1.2.3

Fatore $- 1$ de $- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)))}{17} + C$

$\frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Etapa 9.2.1.3

Fatore o negativo.

$\frac{- e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Etapa 9.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{17} e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)) + C$