Cálculo Exemplos

$\int \cot^{4} (x) d x$

Etapa 1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int {\cot (x)}^{2 (2)} d x$

Etapa 1.2

Reescreva ${\cot (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\int {(\cot^{2} (x))}^{2} d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cot^{2} (x)$ como $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \csc^{2} (x))}^{2} d x$

Etapa 3

Simplifique.

$\int 1 - 2 \csc^{2} (x) + \csc^{4} (x) d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Etapa 6

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$x + C - 2 \int \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Etapa 7

Como a derivada de $- \cot (x)$ é $\csc^{2} (x)$ , a integral de $\csc^{2} (x)$ é $- \cot (x)$ .

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) + \int \csc^{4} (x) d x$

Etapa 8

Aplique a fórmula da redução.

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (x) d x$

Etapa 9

Como a derivada de $- \cot (x)$ é $\csc^{2} (x)$ , a integral de $\csc^{2} (x)$ é $- \cot (x)$ .

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x)) + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $\cot (x)$ .

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Etapa 10.2.2

Para escrever $2 \cot (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + 2 \cot (x) \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Etapa 10.2.3

Combine $2 \cot (x)$ e $\frac{3}{3}$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Etapa 10.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3 - 2 \cot (x)}{3} + C$

Etapa 10.2.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{6 \cot (x) - 2 \cot (x)}{3} + C$

Etapa 10.2.6

Subtraia $2 \cot (x)$ de $6 \cot (x)$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{4 \cot (x)}{3} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$x - \frac{1}{3} \cot (x) \csc^{2} (x) + \frac{4}{3} \cot (x) + C$