Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{{(1 - 6 t)}^{4}} d t d t$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - 6 t$ . Depois, $d u = - 6 d t$ , então, $- \frac{1}{6} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - 6 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - 6 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 - 6 t]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 6 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 6 t$ em relação a $t$ é $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$0 - 6$

Etapa 1.1.4

Subtraia $6$ de $0$ .

$- 6$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u d t$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u d t$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{u^{4}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u^{4} \cdot 6} d u d t$

Etapa 2.3

Mova $6$ para a esquerda de $u^{4}$ .

$\int - \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

Etapa 4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u) d t$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Combine $d$ e $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u t$

Etapa 5.1.2

Combine $t$ e $\frac{d}{6}$ .

$- \frac{t d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Etapa 5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Mova $u^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{t d}{6} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{t d}{6} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- \frac{t d}{6} \int u^{- 4} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 4}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Combine $u^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

Etapa 7.1.2

Mova $u^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

Etapa 7.2

Reescreva $- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$ como $- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Combine $t$ e $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{t}{6} d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Etapa 7.3.2

Combine $d$ e $\frac{t}{6}$ .

$- \frac{d t}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Etapa 7.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d t}{6} \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Etapa 7.3.4

Multiplique $\frac{d t}{6}$ por $1$ .

$\frac{d t}{6} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Etapa 7.3.5

Multiplique $\frac{d t}{6}$ por $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{d t}{6 (3 u^{3})} + C$

Etapa 7.3.6

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{d t}{18 u^{3}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 6 t$ .

$\frac{d t}{18 {(1 - 6 t)}^{3}} + C$