Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

Etapa 1

Deixe $x = 3 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 3 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Etapa 2.1.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Etapa 2.1.2

Fatore $9$ de $9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Etapa 2.1.3

Fatore $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Etapa 2.1.4

Fatore $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Etapa 2.1.6

Reescreva $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

Etapa 2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $3 \cos (t)$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $3 \cos (t)$ de ${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $3$ de $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

Etapa 2.2.2.2

Aplique a regra do produto a $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

Etapa 2.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Converta de $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ em $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

Etapa 4.2

Combine $d$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

Etapa 4.3

Combine $x$ e $\frac{d}{9}$ .

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

Etapa 5

Como a derivada de $- \cot (t)$ é $\csc^{2} (t)$ , a integral de $\csc^{2} (t)$ é $- \cot (t)$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ como $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ .

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{1}{9}$ e $x$ .

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{x}{9}$ e $d$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

Etapa 6.2.3

Combine $\frac{x d}{9}$ e $\cot (t)$ .

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (\frac{x}{3})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Portanto, $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ é $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

Etapa 8.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.9

Multiplique $\frac{3 + x}{3}$ por $\frac{3 - x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.10

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.11

Reescreva $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Etapa 8.11.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(3 + x) (3 - x)$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.11.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.11.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.12

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.13

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.14

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.14.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Etapa 8.14.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

Etapa 8.15

Combine $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Etapa 8.16

Combine expoentes.

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Etapa 8.16.1

Combine $x$ e $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Etapa 8.16.2

Combine $d$ e $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

Etapa 8.17

Remova os parênteses desnecessários.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Etapa 8.18

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 8.18.1

Reduza a expressão $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.18.1.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Etapa 8.18.1.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

Etapa 8.18.2

Divida $d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ por $1$ .

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$