Cálculo Exemplos

$\int \tan^{4} (2 x) \sec^{4} (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\tan^{4} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{2} \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{\tan^{4} (u_{1})}{2}$ e $\sec^{4} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) (\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (u_{1})$ como $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) ((1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Etapa 7

Multiplique ${u_{2}}^{4} (1 + {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} \cdot 1 + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique ${u_{2}}^{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 8.2

Multiplique ${u_{2}}^{4}$ por ${u_{2}}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4 + 2} d u_{2}$

Etapa 8.2.2

Some $4$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{6} d u_{2})$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{4}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int {u_{2}}^{6} d u_{2})$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{6}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}) + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \tan^{5} (u_{1}) + \frac{1}{7} \tan^{7} (u_{1})) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \tan^{5} (2 x) + \frac{1}{7} \tan^{7} (2 x)) + C$