Cálculo Exemplos

$\int \tan^{3} (4 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 4 x$ . Depois, $d u_{1} = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 2

Combine $\tan^{3} (u_{1})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Fatore $\tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int \tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (u_{1})$ como $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int (- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} \int - 1 \tan (u_{1}) + \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{4} (\int - 1 \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (- \int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 9

A integral de $\tan (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ , então, $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $\sec (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

Etapa 10.1.2

A derivada de $\sec (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int u_{2} d u_{2})$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (u_{1}) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (u_{1})) + C$

Etapa 13.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (4 x)) + C$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{\sec^{2} (4 x)}{2}) + C$

Etapa 14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |)) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sec^{2} (4 x)}{2} + C$

Etapa 14.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (| \sec (4 x) |)$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sec^{2} (4 x)}{2} + C$

Etapa 14.4

Combine.

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{1 \sec^{2} (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Etapa 14.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.5.1

Multiplique $\sec^{2} (4 x)$ por $1$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{\sec^{2} (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Etapa 14.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{\sec^{2} (4 x)}{8} + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$- \frac{1}{4} \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{8} \sec^{2} (4 x) + C$