Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{x^{2} - 4} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 2 \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sec (t)$ .

$\int \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $4$ de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $4 \tan^{2} (t)$ como ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int 2 \tan (t) (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int 4 \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.2

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int 4 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t) d t$

Etapa 2.2.3

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int 4 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t) d t$

Etapa 2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 4 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 2.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\int 4 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 4

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$4 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

$4 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 9

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 10

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 11

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Etapa 12

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Etapa 13

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Etapa 15

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Some $1$ e $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 15.2

Reordene $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Etapa 16

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Etapa 17

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 17.3

Reordene $\sec (t)$ e $- 1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 18

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Etapa 19

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Etapa 21

Some $1$ e $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 22

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Etapa 23

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Etapa 24

Some $2$ e $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 25

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 26

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 27

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 28

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 28.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 29

Ao resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Etapa 30

Multiplique $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Etapa 31

Simplifique.

$4 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Etapa 32

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Etapa 32.2

Some $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ e $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Etapa 32.3

Combine $4$ e $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{4 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

Etapa 32.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.4.1

Fatore $2$ de $4 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ .

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2} + C$

Etapa 32.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 (1)} + C$

Etapa 32.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 \cdot 1} + C$

Etapa 32.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{1} + C$

Etapa 32.4.2.4

Divida $2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ por $1$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Etapa 33

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (arcsec (\frac{x}{2})) \tan (arcsec (\frac{x}{2})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1.1

As funções secante e arco secante são inversos.

$2 (\frac{x}{2} \tan (arcsec (\frac{x}{2})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.2

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $arcsec (\frac{x}{2})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Portanto, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ é $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{x}{2}$ e $b = 1$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.10

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.11

Multiplique $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.12

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.13

Reescreva $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Etapa 34.1.13.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.13.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.13.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 (\frac{x}{2} (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.15

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.16

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Etapa 34.1.16.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2 \cdot 2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.16.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (\frac{x}{4} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.17

Combine $\frac{x}{4}$ e $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.18

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1.18.1

As funções secante e arco secante são inversos.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Etapa 34.1.18.2

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} |)) + C$

Etapa 34.1.18.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} |)) + C$

Etapa 34.1.18.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{x}{2}$ e $b = 1$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

Etapa 34.1.18.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

Etapa 34.1.18.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

Etapa 34.1.18.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} |)) + C$

Etapa 34.1.18.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} |)) + C$

Etapa 34.1.18.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} |)) + C$

Etapa 34.1.18.10

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} |)) + C$

Etapa 34.1.18.11

Multiplique $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} |)) + C$

Etapa 34.1.18.12

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} |)) + C$

Etapa 34.1.18.13

Reescreva $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Etapa 34.1.18.13.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} |)) + C$

Etapa 34.1.18.13.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} |)) + C$

Etapa 34.1.18.13.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} |)) + C$

Etapa 34.1.18.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |)) + C$

Etapa 34.1.18.15

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} |)) + C$

Etapa 34.1.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} |)) + C$

Etapa 34.1.20

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})) + C$

Etapa 34.2

Para escrever $- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Etapa 34.3

Combine $- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} + \frac{- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Etapa 34.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Etapa 34.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{4} + C$

Etapa 34.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 34.6.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2 (2)} + C$

Etapa 34.6.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 34.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2} + C$

Etapa 35

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{1}{2} | x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |)) + C$