Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{16 - 9 x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \frac{4}{3} \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{4 \cos (t)}{3} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{4 \cos (t)}{3}$ é positivo.

$\int \sqrt{16 - 9 {(\frac{4}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{16 - 9 {(\frac{4}{3} \sin (t))}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{16 - 9 {(\frac{4 \sin (t)}{3})}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4 \sin (t)}{3}$ .

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.2.2

Aplique a regra do produto a $4 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{4^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{16 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.5

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.5.1

Fatore $9$ de $- 9$ .

$\int \sqrt{16 + 9 (- 1) \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.5.2

Cancele o fator comum.

$\int \sqrt{16 + 9 \cdot - 1 \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.5.3

Reescreva a expressão.

$\int \sqrt{16 - 1 (16 \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.6

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $16$ de $16$ .

$\int \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $16$ de $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $16$ de $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{16 \cos^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $16 \cos^{2} (t)$ como ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int 4 \cos (t) \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Combine $\frac{4 \cos (t)}{3}$ e $4$ .

$\int \frac{4 \cos (t) \cdot 4}{3} \cos (t) d t$

Etapa 2.2.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\int \frac{16 \cos (t)}{3} \cos (t) d t$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{16 \cos (t)}{3}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{16 \cos (t) \cos (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.4

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{16 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3} d t$

Etapa 2.2.5

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3} d t$

Etapa 2.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{16 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3} d t$

Etapa 2.2.7

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{16 \cos^{2} (t)}{3} d t$

Etapa 3

Como $\frac{16}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{16}{3}$ para fora da integral.

$\frac{16}{3} \int \cos^{2} (t) d t$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{16}{3} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{16}{3} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{16}{3}$ .

$\frac{16}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{16}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $16$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 (8)}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 6.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{8}{3} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{8}{3} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 9.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{8}{3} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 10

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{3} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{8}{3} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 12

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{8}{3} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

$\frac{8}{3} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ .

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 14.3

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ .

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))) + C$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))$ .

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2}) + C$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8}{3} \arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{8}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

Etapa 15.3

Combine $\frac{8}{3}$ e $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ .

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

Etapa 15.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

Etapa 15.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

Etapa 15.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{4}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4})) + C$

Etapa 15.5

Combine $\frac{4}{3}$ e $\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))$ .

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{4 \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{3} + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{8}{3} \arcsin (\frac{3}{4} x) + \frac{4}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{3}{4} x)) + C$