Cálculo Exemplos

$\int \sec^{4} (x) \tan^{4} (x) d x$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} \tan^{4} (x) d x$

Etapa 1.2

Reescreva ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan^{4} (x) d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) \tan^{4} (x) d x$

Etapa 3

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Etapa 4

Multiplique $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$\int 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $u^{4}$ por $1$ .

$\int u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Etapa 5.2

Multiplique $u^{2}$ por $u^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Etapa 5.2.2

Some $2$ e $4$ .

$\int u^{4} + u^{6} d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{4} d u + \int u^{6} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int u^{6} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{6}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{1}{7} \tan^{7} (x) + C$