Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{\cos^{3} (x)}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- d u = \sin (x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u^{3}}$ como $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{3}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 4.3.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$- \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ como $- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 6.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 6.2.4

Multiplique $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\frac{2}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Separe as frações.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 8.2

Converta de $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ em ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{1} {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.3

Divida $2$ por $1$ .

$2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$