Cálculo Exemplos

$\int r^{2} e^{- \frac{2 r}{a}} d r$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = r^{2}$ e $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ .

$r^{2} (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $e^{- \frac{2 r}{a}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$r^{2} (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Etapa 2.2

Combine $a$ e $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$r^{2} (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Etapa 2.3

Combine $r^{2}$ e $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ é constante com relação a $r$ , mova $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ para fora da integral.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{1}{2} a \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $a$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{a}{2} \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- 2 \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Etapa 4.3

Combine $- 2$ e $\frac{a}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- 2 a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $2$ de $- 2 a$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 (1)} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 \cdot 1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- a}{1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Etapa 4.4.2.4

Divida $- a$ por $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 (a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Etapa 4.6

Multiplique $a$ por $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = r$ e $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $e^{- \frac{2 r}{a}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Etapa 6.2

Combine $a$ e $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Etapa 6.3

Combine $r$ e $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Etapa 6.4

Combine $e^{- \frac{2 r}{a}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a d r)$

Etapa 6.5

Combine $a$ e $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $r$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - - \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Etapa 8.2

Multiplique $\int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r$ por $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Etapa 9

Como $\frac{a}{2}$ é constante com relação a $r$ , mova $\frac{a}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} d r)$

Etapa 10

Deixe $u = - \frac{2 r}{a}$ . Depois, $d u = - \frac{2}{a} d r$ , então, $- \frac{a}{2} d u = d r$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = - \frac{2 r}{a}$ . Encontre $\frac{d u}{d r}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $- \frac{2 r}{a}$ .

$\frac{d}{d r} [- \frac{2 r}{a}]$

Etapa 10.1.2

Como $- \frac{2}{a}$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- \frac{2 r}{a}$ em relação a $r$ é $- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{2}{a} \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2}{a}$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{2}{a}} d u)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{2}{a}} d u)$

Etapa 11.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{2}{a}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} (1 \frac{a}{2}) d u)$

Etapa 11.3

Multiplique $\frac{a}{2}$ por $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{a}{2} d u)$

Etapa 11.4

Combine $\frac{a}{2}$ e $e^{u}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - \frac{a e^{u}}{2} d u)$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- \int \frac{a e^{u}}{2} d u))$

Etapa 13

Como $\frac{a}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{a}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- (\frac{a}{2} \int e^{u} d u)))$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Multiplique $\frac{a}{2}$ por $\frac{a}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a \cdot a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Etapa 14.2

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Etapa 14.3

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a^{1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Etapa 14.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Etapa 14.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Etapa 14.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} \int e^{u} d u)$

Etapa 15

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Reescreva $- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$ como $- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$ .

$- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Etapa 16.2

Simplifique.

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Etapa 16.2.1

Combine $r^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2}}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Etapa 16.2.2

Combine $a$ e $\frac{r^{2}}{2}$ .

$- \frac{a r^{2}}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Etapa 16.2.3

Combine $e^{- \frac{2 r}{a}}$ e $\frac{a r^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Etapa 16.2.4

Combine $r$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{r}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Etapa 16.2.5

Combine $a$ e $\frac{r}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{a r}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Etapa 16.2.6

Combine $e^{- \frac{2 r}{a}}$ e $\frac{a r}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Etapa 16.2.7

Combine $a^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{a^{2}}{4} e^{u}) + C$

Etapa 16.2.8

Combine $e^{u}$ e $\frac{a^{2}}{4}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) + C$

Etapa 16.2.9

Para escrever $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 16.2.10

Combine $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + \frac{a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 16.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 16.2.12

Mova $2$ para a esquerda de $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ .

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})}{2} + C$

Etapa 17

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{2 r}{a}$ .

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2}}{4})}{2} + C$

Etapa 18

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a r - \frac{1}{4} e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2})) + C$