Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 4 + e^{x}$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 4 + e^{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $4 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{x}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Etapa 2.1.4

Some $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 4

Simplifique.

$3 \ln (| u |) + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 + e^{x}$ .

$3 \ln (| 4 + e^{x} |) + C$