Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Etapa 1

Fatore $2$ de $2 x - 4$ .

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Etapa 1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) - 4}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\int \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Etapa 1.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\int \frac{2 (x - 2)}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{x - 2}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 3 x^{2} - 12 x + 1$ . Depois, $d u = (6 x - 12) d x$ , então, $\frac{1}{6} d u = (x - 2) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 3 x^{2} - 12 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $3 x^{2} - 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12 x + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 12 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 3.1.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.4.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.5.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Etapa 3.1.5.2

Some $6 x - 12$ e $0$ .

$6 x - 12$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

Etapa 4.2

Mova $6$ para a esquerda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{6 u} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{2} - 12 x + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{2} - 12 x + 1 |) + C$