Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x + 7}{{(2 x^{2} + 14 x)}^{4}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x^{2} + 14 x$ . Depois, $d u = (4 x + 14) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = (2 x + 7) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x^{2} + 14 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 14 x]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 14 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [14 x]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 14 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 14 \cdot 1$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $14$ por $1$ .

$4 x + 14$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{4}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{4} \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{4}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{4}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 4} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 4}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Etapa 6.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $u^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Etapa 6.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$- \frac{1}{2 (3 u^{3})} + C$

Etapa 6.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{1}{6 u^{3}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{2} + 14 x$ .

$- \frac{1}{6 {(2 x^{2} + 14 x)}^{3}} + C$