Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x + 2}{{(x^{2} + 2 x - 4)}^{4}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Depois, $d u = (2 x + 2) d x$ , então, $\frac{1}{2 x + 2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 4]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$2 x + 2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $u^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Etapa 2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 4}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ como $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Etapa 4.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2 x - 4$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x - 4)}^{3}} + C$