Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 x + 2}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$\int 3 \sin (t) + 2 d t$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 2 d t$

Etapa 4

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

Etapa 5

A integral de $\sin (t)$ com relação a $t$ é $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$3 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

Etapa 7

Simplifique.

$- 3 \cos (t) + 2 t + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (x)$ .

$- 3 \cos (\arcsin (x)) + 2 \arcsin (x) + C$