Cálculo Exemplos

$\int \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 2 x - 7$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 2 x - 7$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 7]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5.1.3

Multiplique $\int \frac{1}{u^{2}} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.2.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Etapa 7

Reescreva $- u^{- 1} + C$ como $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 7$ .

$- \frac{1}{2 x - 7} + C$