Cálculo Exemplos

$\int \frac{12 x + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Fatore $6$ de $12 x + 18$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $6$ de $12 x$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Etapa 1.1.2

Fatore $6$ de $18$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 6 (3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Etapa 1.1.3

Fatore $6$ de $6 (2 x) + 6 (3)$ .

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Etapa 1.2

Fatore $x^{2} + 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Etapa 2

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = (x - 1) (x + 4)$ . Depois, $d u = (2 x + 3) d x$ , então, $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = (x - 1) (x + 4)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 4)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x + 4$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.1.3

Diferencie.

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Etapa 3.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.1.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.1.3.4.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x - 1 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.1.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + 0)$

Etapa 3.1.3.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.1.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$x - 1 + (x + 4) \cdot 1$

Etapa 3.1.3.8.2

Multiplique $x + 4$ por $1$ .

$x - 1 + x + 4$

Etapa 3.1.3.8.3

Some $x$ e $x$ .

$2 x - 1 + 4$

Etapa 3.1.3.8.4

Some $- 1$ e $4$ .

$2 x + 3$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$6 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$6 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 6.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$12 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(x - 1) (x + 4)$ .

$12 {((x - 1) (x + 4))}^{\frac{1}{2}} + C$