Cálculo Exemplos

$\int \frac{16 x^{3}}{4 x^{4} + 3} d x$

Etapa 1

Como $16$ é constante com relação a $x$ , mova $16$ para fora da integral.

$16 \int \frac{x^{3}}{4 x^{4} + 3} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 4 x^{4} + 3$ . Depois, $d u = 16 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 4 x^{4} + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $4 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 3]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{4} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{4}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $16 x^{3}$ e $0$ .

$16 x^{3}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$16 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{16} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{16}$ .

$16 \int \frac{1}{u \cdot 16} d u$

Etapa 3.2

Mova $16$ para a esquerda de $u$ .

$16 \int \frac{1}{16 u} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{16}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{16}$ para fora da integral.

$16 (\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{16}$ e $16$ .

$\frac{16}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 5.3

Multiplique $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{4} + 3$ .

$\ln (| 4 x^{4} + 3 |) + C$