Cálculo Exemplos

$\int \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} d t$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + \sin (t)$ . Depois, $d u = \cos (t) d t$ , então, $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + \sin (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + \sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \sin (t)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\sin (t)$ em relação a $t$ é $\cos (t)$ .

$0 + \cos (t)$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \sin (t)$ .

$\ln (| 1 + \sin (t) |) + C$