Cálculo Exemplos

$\int \frac{\cos (x)}{1 + 2 \sin (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + 2 \sin (x)$ . Depois, $d u = 2 \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = \cos (x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + 2 \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + 2 \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 \sin (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$0 + 2 \cos (x)$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + 2 \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 \sin (x) |) + C$