Cálculo Exemplos

$\int \frac{8 x^{3} - 1}{2 x - 1} d x$

Etapa 1

Divida $8 x^{3} - 1$ por $2 x - 1$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$4 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{2} - 2 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

Etapa 1.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$

Etapa 1.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$

Etapa 1.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

Etapa 1.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x - 1$ .

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

Etapa 1.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	+	$1$
										$0$

Etapa 1.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$\int 4 x^{2} + 2 x + 1 d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 4 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int d x$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x + \int d x$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x + \int d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Etapa 8.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

$\frac{4 x^{3}}{3} + x^{2} + x + C$

Etapa 8.3

Reordene os termos.

$\frac{4}{3} x^{3} + x^{2} + x + C$