Cálculo Exemplos

$\int \frac{6 x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

Etapa 1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int \frac{x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

Etapa 2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{4})}^{1}$ .

$6 \int \frac{x^{3}}{2 {(x^{4})}^{1} + 1} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = x^{4}$ . Depois, $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = x^{4}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$6 \int \frac{1}{2 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique.

$6 \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{2 u_{1} + 1}$ por $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(2 u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

Etapa 4.3

Mova $4$ para a esquerda de $2 u_{1} + 1$ .

$6 \int \frac{1}{4 (2 u_{1} + 1)} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $2 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1} + 1]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 u_{1} + 1$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 7.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

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Etapa 7.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 7.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 7.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 7.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 7.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 7.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 8.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$\frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1} + 1$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 u_{1} + 1 |) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{4}$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 x^{4} + 1 |) + C$