Cálculo Exemplos

$\int \frac{5 x + 3}{x^{3} - 2 x^{2} - 3 x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{5 x + 3}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 3 x}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{5 x + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 3 x}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{5 x + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 3}$

Etapa 1.1.1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{5 x + 3}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3}$

Etapa 1.1.1.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3$ .

$\frac{5 x + 3}{x (x^{2} - 2 x - 3)}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 1.1.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{5 x + 3}{x ((x - 3) (x + 1))}$

Etapa 1.1.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{5 x + 3}{x (x - 3) (x + 1)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x - 3) (x + 1)$ .

$\frac{(5 x + 3) (x (x - 3) (x + 1))}{x (x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x + 3) (x (x - 3) (x + 1))}{x (x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(5 x + 3) ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x + 3) ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(5 x + 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.7

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x + 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.7.2

Divida $5 x + 3$ por $1$ .

$5 x + 3 = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$5 x + 3 = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.1.2

Divida $A ((x - 3) (x + 1))$ por $1$ .

$5 x + 3 = A ((x - 3) (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.2

Expanda $(x - 3) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 3 = A (x (x + 1) - 3 (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 3 = A (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 3 = A (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x + 3 = A (x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$5 x + 3 = A (x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$5 x + 3 = A (x^{2} + x - 3 x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.3.2

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$5 x + 3 = A (x^{2} - 2 x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} + A (- 2 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.5.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.6

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.6.1

Cancele o fator comum.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.6.2

Divida $(B) (x (x + 1))$ por $1$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + (B) (x (x + 1)) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.7

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.8

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.9

Multiplique $x$ por $1$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.10

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.11

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.11.1

Cancele o fator comum.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + \frac{C (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.11.2

Divida $(C) (x (x - 3))$ por $1$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + (C) (x (x - 3))$

Etapa 1.1.8.12

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 3)$

Etapa 1.1.8.13

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x^{2} + x \cdot - 3)$

Etapa 1.1.8.14

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x^{2} - 3 \cdot x)$

Etapa 1.1.8.15

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} + C (- 3 x)$

Etapa 1.1.8.16

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Etapa 1.1.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1

Mova $A$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Etapa 1.1.9.2

Reordene $B$ e $x^{2}$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Etapa 1.1.9.3

Reordene $B$ e $x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Etapa 1.1.9.4

Mova $- 3 A$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x - 3 A$

Etapa 1.1.9.5

Mova $B x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x^{2} + C x^{2} + B x - 3 C x - 3 A$

Etapa 1.1.9.6

Mova $- 2 x A$ .

$5 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 2 x A + B x - 3 C x - 3 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = - 3 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$3 = - 3 A$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$3 = - 3 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $3 = - 3 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 3 A = 3$ .

$- 3 A = 3$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $- 3 A = 3$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 3 A = 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1

Divida $3$ por $- 3$ .

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B + C$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + B + C$

$A = - 1$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $5 = - 2 A + B - 3 C$ por $- 1$ .

$5 = - 2 \cdot - 1 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$5 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$5 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$5 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $5 = 2 + B - 3 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $2 + B - 3 C = 5$ .

$2 + B - 3 C = 5$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$B - 3 C = 5 - 2$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $3 C$ aos dois lados da equação.

$B = 5 - 2 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.3.2.3

Subtraia $2$ de $5$ .

$B = 3 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$B = 3 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$B = 3 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $3 + 3 C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = - 1 + B + C$ por $3 + 3 C$ .

$0 = - 1 + 3 + 3 C + C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique $0 = - 1 + 3 + 3 C + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Remova os parênteses.

$0 = - 1 + 3 + 3 C + C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 3 + 3 C + C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.2.1

Simplifique $- 1 + 3 + 3 C + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.2.1.1

Some $- 1$ e $3$ .

$0 = 2 + 3 C + C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.4.2.2.1.2

Some $3 C$ e $C$ .

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5

Resolva $C$ em $0 = 2 + 4 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Reescreva a equação como $2 + 4 C = 0$ .

$2 + 4 C = 0$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$4 C = - 2$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.3

Divida cada termo em $4 C = - 2$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.1

Divida cada termo em $4 C = - 2$ por $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$C = \frac{2 (- 1)}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.5.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$C = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$C = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Etapa 1.3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- \frac{1}{2}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = 3 + 3 C$ por $- \frac{1}{2}$ .

$B = 3 + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.6.2.1

Simplifique $3 + 3 (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 1.3.6.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.6.2.1.1.1

Multiplique $3 (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 1.3.6.2.1.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$B = 3 - 3 (\frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.6.2.1.1.1.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$B = 3 + \frac{- 3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = 3 + \frac{- 3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.6.2.1.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = 3 - \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = 3 - \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.6.2.1.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$B = 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.6.2.1.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.6.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.6.2.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.6.2.1.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$B = \frac{6 - 3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.6.2.1.5.2

Subtraia $3$ de $6$ .

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.7

Liste todas as soluções.

$B = \frac{3}{2}, C = - \frac{1}{2}, A = - 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 3} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 1}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{x - 3}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (x - 3)} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 1}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (x - 3)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (x - 3)} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 2}$

Etapa 1.5.5

Mova $2$ para a esquerda de $x + 1$ .

$\int - \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (x - 3)} - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Etapa 5

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 3} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Etapa 6

Deixe $u_{1} = x - 3$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{1} = x - 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 6.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 10.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 10.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 10.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 3$ .

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| x - 3 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| x - 3 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + C$