Cálculo Exemplos

$\int \frac{5 x + 1}{(2 x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.2

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.5.2

Divida $5 x + 1$ por $1$ .

$5 x + 1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$5 x + 1 = \frac{A (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$5 x + 1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.6.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$5 x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.6.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.6.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.6.5.2

Divida $(B) (2 x + 1)$ por $1$ .

$5 x + 1 = A x - A + (B) (2 x + 1)$

Etapa 1.1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 1 = A x - A + B (2 x) + B \cdot 1$

Etapa 1.1.6.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B \cdot 1$

Etapa 1.1.6.8

Multiplique $B$ por $1$ .

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B$

Etapa 1.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.7.1

Mova $B$ .

$5 x + 1 = A x - A + 2 x B + B$

Etapa 1.1.7.2

Mova $- A$ .

$5 x + 1 = A x + 2 x B - A + B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = A + 2 B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 1 A + B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $5 = A + 2 B$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + 2 B = 5$ .

$A + 2 B = 5$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $2 B$ dos dois lados da equação.

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $5 - 2 B$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = - 1 A + B$ por $5 - 2 B$ .

$1 = - 1 (5 - 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $- 1 (5 - 2 B) + B$ .

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Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = - 1 \cdot 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$1 = - 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Some $2 B$ e $B$ .

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $1 = - 5 + 3 B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 5 + 3 B = 1$ .

$- 5 + 3 B = 1$

$A = 5 - 2 B$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$3 B = 1 + 5$

$A = 5 - 2 B$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $1$ e $5$ .

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $3 B = 6$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $3 B = 6$ por $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.3.3.1

Divida $6$ por $3$ .

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 5 - 2 B$ por $2$ .

$A = 5 - 2 \cdot 2$

$B = 2$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $5 - 2 \cdot 2$ .

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Etapa 1.3.4.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$A = 5 - 4$

$B = 2$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 1, B = 2$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1}$

Etapa 1.5

Remova o zero da expressão.

$\int \frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{2 x + 1} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = 2 x + 1$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Etapa 4.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 8

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 8.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$