Cálculo Exemplos

$\int \frac{4 x^{3} - 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{4 x^{3}}{x} + \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{4 x^{3}}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $4 x^{3}$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x^{1}} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 3.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$\int \frac{4 x^{2}}{1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 3.1.2.5

Divida $4 x^{2}$ por $1$ .

$\int 4 x^{2} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int 4 x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 7

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

Etapa 8.1.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 8.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 8.3.2

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.2.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 8.3.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 8.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 8.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 8.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Etapa 8.3.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 8.4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.4.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 8.4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 8.4.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 8.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$\frac{4 x^{3}}{3} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 10.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{4 x^{3}}{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2.2

Reordene os termos.

$\frac{4}{3} x^{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$