Cálculo Exemplos

$\int \frac{4 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3 - 1}{2}} d x$

Etapa 4.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{2}{2}} d x$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.1

Cancele o fator comum.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{2}{2}} d x$

Etapa 4.5.2

Reescreva a expressão.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{1} d x$

Etapa 4.6

Simplifique.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x d x$

Etapa 4.7

Reordene $4 x^{- \frac{1}{2}}$ e $5 x$ .

$\int 5 x + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 5 x d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 6

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int x d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 8

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$5 (\frac{1}{2}) x^{2} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{2} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{5}{2} x^{2} + 8 x^{\frac{1}{2}} + C$