Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} - 1} d x$

Etapa 1

Divida $x^{3}$ por $x^{2} - 1$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0 - x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 1.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Etapa 1.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int x + \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x d x + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Etapa 4

Deixe $u = x^{2} - 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x^{2} - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 4.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C$