Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - x^{2})}^{3}}} d x$

Etapa 2

Deixe $x = 3 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 3 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - (3^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - (9 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - 9 \sin^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.2

Fatore $9$ de $9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 (1) - 9 \sin^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.3

Fatore $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.4

Fatore $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 \cos^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.6

Aplique a regra do produto a $9 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.7

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{729 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.8

Multiplique os expoentes em ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Etapa 3.1.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{729 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{729 \cos^{6} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.9

Reescreva $729 \cos^{6} (t)$ como ${(27 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(27 \cos^{3} (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{27 \cos^{3} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $3 \cos (t)$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $3 \cos (t)$ de $27 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \cos (t) (9 \cos^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) (9 \cos^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{9 \cos^{2} (t)} d t$

Etapa 4

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Etapa 5

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ em $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{9} \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 6

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$\frac{1}{9} (\tan (t) + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{1}{9} \tan (t) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{9} \tan (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Etapa 9

Reordene os termos.

$\frac{1}{9} \tan (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$