Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Negative o expoente de $e^{x^{3}}$ e o mova para fora do denominador.

$\int x^{2} {(e^{x^{3}})}^{- 1} d x$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{x^{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2} e^{x^{3} \cdot - 1} d x$

Etapa 1.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\int x^{2} e^{- 1 \cdot x^{3}} d x$

Etapa 1.2.3

Reescreva $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$\int x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Depois, $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{3}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os fatores em $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Etapa 3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{3} u_{2} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{- x^{3}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$