Cálculo Exemplos

$\int \frac{\arctan (3 x)}{1 + 9 x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Depois, $d u_{1} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}) \cdot 3} d u_{1}$

Etapa 2.2

Mova $3$ para a esquerda de $1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{3 (1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2})} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , então, $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

Etapa 4.1.4

Reorganize os termos.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 6.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 7

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 7.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

Etapa 7.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (3 x)}^{2} + C$