Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{x} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 5 \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \frac{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\int \frac{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $25$ de $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $25$ de $- 25$ .

$\int \frac{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $25$ de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $25 \tan^{2} (t)$ como ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $5 \sec (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $5 \sec (t)$ de $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão.

$\int 5 \tan (t) \tan (t) d t$

Etapa 3

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int 5 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int 5 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 5 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 6

Some $1$ e $1$ .

$\int 5 \tan^{2} (t) d t$

Etapa 7

Como $5$ é constante com relação a $t$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int \tan^{2} (t) d t$

Etapa 8

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$5 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$5 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$5 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 11

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$5 (- t + C + \tan (t) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$5 (- t + \tan (t)) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \tan (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $arcsec (\frac{x}{5})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Portanto, $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ é $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}) + C$

Etapa 14.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Etapa 14.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{x}{5}$ e $b = 1$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Etapa 14.1.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Etapa 14.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Etapa 14.1.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}) + C$

Etapa 14.1.7

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}) + C$

Etapa 14.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}}) + C$

Etapa 14.1.9

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}}) + C$

Etapa 14.1.10

Multiplique $\frac{x + 5}{5}$ por $\frac{x - 5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}}) + C$

Etapa 14.1.11

Multiplique $5$ por $5$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}}) + C$

Etapa 14.1.12

Reescreva $\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.12.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(x + 5) (x - 5)$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}}) + C$

Etapa 14.1.12.2

Fatore a potência perfeita $5^{2}$ de $25$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}}) + C$

Etapa 14.1.12.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}) + C$

Etapa 14.1.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + C$

Etapa 14.1.14

Combine $\frac{1}{5}$ e $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Etapa 14.2

Para escrever $- arcsec (\frac{x}{5})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot \frac{5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Etapa 14.3

Combine $- arcsec (\frac{x}{5})$ e $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Etapa 14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + C$

Etapa 14.5

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + C$

Etapa 14.5.2

Reescreva a expressão.

$- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$

Etapa 14.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$- 5 arcsec (\frac{1}{5} x) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$