Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sqrt{4 x^{2} - 9}}{x} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \frac{3}{2} \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ é positivo.

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.2.2

Aplique a regra do produto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $9$ de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $9$ de $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $9$ de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $9 \tan^{2} (t)$ como ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3 \sec (t)}{2}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\int 3 \tan (t) \frac{2}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{2}{3 \sec (t)}$ e $3$ .

$\int \frac{2 \cdot 3}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int \frac{6}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{6}{3 \sec (t)}$ e $\tan (t)$ .

$\int \frac{6 \tan (t)}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Fatore $3$ de $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 (\sec (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{2 \tan (t)}{\sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.7

Multiplique $\frac{2 \tan (t)}{\sec (t)}$ por $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \tan (t) (3 \sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Etapa 2.2.8

Multiplique $3$ por $2$ .

$\int \frac{6 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Etapa 2.2.9

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Etapa 2.2.10

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Etapa 2.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{6 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Etapa 2.2.12

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Etapa 2.2.13

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (t)$ .

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{2 \cdot \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.14

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.14.1

Fatore $2$ de $6 \tan^{2} (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.14.2.1

Fatore $2$ de $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 (\sec (t))} d t$

Etapa 2.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

Etapa 2.2.15

Cancele o fator comum de $\sec (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.15.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

Etapa 2.2.15.2

Divida $3 \tan^{2} (t)$ por $1$ .

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

Etapa 4

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 7

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$3 (- t + \tan (t)) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{2 x}{3})$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))) + C$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $arcsec (\frac{2 x}{3})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ . Portanto, $\tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))$ é $\sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}) + C$

Etapa 10.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Etapa 10.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{2 x}{3}$ e $b = 1$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + 1) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Etapa 10.1.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Etapa 10.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Etapa 10.1.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

Etapa 10.1.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

Etapa 10.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

Etapa 10.1.9

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 3}{3}}) + C$

Etapa 10.1.10

Multiplique $\frac{2 x + 3}{3}$ por $\frac{2 x - 3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

Etapa 10.1.11

Multiplique $3$ por $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}}) + C$

Etapa 10.1.12

Reescreva $\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))$ .

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Etapa 10.1.12.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{9}}) + C$

Etapa 10.1.12.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

Etapa 10.1.12.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}) + C$

Etapa 10.1.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}) + C$

Etapa 10.1.14

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Etapa 10.2

Para escrever $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Etapa 10.3

Combine $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Etapa 10.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

Etapa 10.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

Etapa 10.5.2

Reescreva a expressão.

$- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

Etapa 10.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$- 3 arcsec (\frac{2}{3} x) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$