Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} - 4}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \frac{2}{3} \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2 \sec (t)}{3})}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sec (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{{(2 \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.2.2

Aplique a regra do produto a $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{2^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.5

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $4$ de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $4 \tan^{2} (t)$ como ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{2 \tan (t)} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $\frac{1}{2 \tan (t)}$ por $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{2 \tan (t) \cdot 3} d t$

Etapa 2.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{6 \tan (t)} d t$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Fatore $2$ de $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{6 \tan (t)} d t$

Etapa 2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

Etapa 2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $\tan (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sec (t)}{3} d t$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \sec (t) d t$

Etapa 4

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3 x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{3 x}{2})) |) + C$

Etapa 7

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3}{2} x)) + \tan (arcsec (\frac{3}{2} x)) |) + C$