Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.5

Reescreva $4 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{2 \cos (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $\cos (t)$ de $2 \cos (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{2} d t$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} t + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + C$