Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sec^{2} (x)} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)} d x$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (x)})}^{2} d x$

Etapa 1.3

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Etapa 1.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\int {(1 \cos (x))}^{2} d x$

Etapa 1.5

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 6

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 7

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 9

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 12.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 12.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Etapa 12.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 12.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$